\(\int \sec ^n(e+f x) (1+\sec (e+f x))^m \, dx\) [329]

Optimal result

Integrand size = 19, antiderivative size = 72 \[ \int \sec ^n(e+f x) (1+\sec (e+f x))^m \, dx=\frac {2^{\frac {1}{2}+m} \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2},1-n,\frac {1}{2}-m,\frac {3}{2},1-\sec (e+f x),\frac {1}{2} (1-\sec (e+f x))\right ) \tan (e+f x)}{f \sqrt {1+\sec (e+f x)}} \]

[Out]

2^(1/2+m)*AppellF1(1/2,1-n,1/2-m,3/2,1-sec(f*x+e),1/2-1/2*sec(f*x+e))*tan(f*x+e)/f/(1+sec(f*x+e))^(1/2)

Rubi [A] (verified)

Time = 0.08 (sec) , antiderivative size = 72, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 2, number of rules used = 2, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.105, Rules used = {3910, 138} \[ \int \sec ^n(e+f x) (1+\sec (e+f x))^m \, dx=\frac {2^{m+\frac {1}{2}} \tan (e+f x) \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2},1-n,\frac {1}{2}-m,\frac {3}{2},1-\sec (e+f x),\frac {1}{2} (1-\sec (e+f x))\right )}{f \sqrt {\sec (e+f x)+1}} \]

[In]

Int[Sec[e + f*x]^n*(1 + Sec[e + f*x])^m,x]

[Out]

(2^(1/2 + m)*AppellF1[1/2, 1 - n, 1/2 - m, 3/2, 1 - Sec[e + f*x], (1 - Sec[e + f*x])/2]*Tan[e + f*x])/(f*Sqrt[
1 + Sec[e + f*x]])

Rule 138

Int[((b_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_)*((e_) + (f_.)*(x_))^(p_), x_Symbol] :> Simp[c^n*e^p*((b*x)^(m +
1)/(b*(m + 1)))*AppellF1[m + 1, -n, -p, m + 2, (-d)*(x/c), (-f)*(x/e)], x] /; FreeQ[{b, c, d, e, f, m, n, p},
x] &&  !IntegerQ[m] &&  !IntegerQ[n] && GtQ[c, 0] && (IntegerQ[p] || GtQ[e, 0])

Rule 3910

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(d_.))^(n_)*(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.) + (a_))^(m_), x_Symbol] :> Dist[(-(a*(
d/b))^n)*(Cot[e + f*x]/(a^(n - 2)*f*Sqrt[a + b*Csc[e + f*x]]*Sqrt[a - b*Csc[e + f*x]])), Subst[Int[(a - x)^(n
- 1)*((2*a - x)^(m - 1/2)/Sqrt[x]), x], x, a - b*Csc[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, d, e, f, m, n}, x] && EqQ[a
^2 - b^2, 0] &&  !IntegerQ[m] && GtQ[a, 0] &&  !IntegerQ[n] && GtQ[a*(d/b), 0]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \frac {\tan (e+f x) \text {Subst}\left (\int \frac {(1-x)^{-1+n} (2-x)^{-\frac {1}{2}+m}}{\sqrt {x}} \, dx,x,1-\sec (e+f x)\right )}{f \sqrt {1-\sec (e+f x)} \sqrt {1+\sec (e+f x)}} \\ & = \frac {2^{\frac {1}{2}+m} \operatorname {AppellF1}\left (\frac {1}{2},1-n,\frac {1}{2}-m,\frac {3}{2},1-\sec (e+f x),\frac {1}{2} (1-\sec (e+f x))\right ) \tan (e+f x)}{f \sqrt {1+\sec (e+f x)}} \\ \end{align*}

Mathematica [B] (warning: unable to verify)

Leaf count is larger than twice the leaf count of optimal. \(2246\) vs. \(2(72)=144\).

Time = 14.55 (sec) , antiderivative size = 2246, normalized size of antiderivative = 31.19 \[ \int \sec ^n(e+f x) (1+\sec (e+f x))^m \, dx=\text {Result too large to show} \]

[In]

Integrate[Sec[e + f*x]^n*(1 + Sec[e + f*x])^m,x]

[Out]

(3*2^(1 + m)*AppellF1[1/2, m + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^(-
1 + n)*Sec[e + f*x]^n*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(m + n)*(1 + Sec[e + f*x])^m*Tan[(e + f*x)/2])/(f*(3*A
ppellF1[1/2, m + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*((-1 + n)*AppellF1[3/2, m + n, 2
- n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (m + n)*AppellF1[3/2, 1 + m + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x
)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)*((3*2^m*AppellF1[1/2, m + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2,
-Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^n*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(m + n))/(3*AppellF1[1/2, m + n
, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*((-1 + n)*AppellF1[3/2, m + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e +
f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (m + n)*AppellF1[3/2, 1 + m + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e +
f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2) + (3*2^(1 + m)*(-1 + n)*AppellF1[1/2, m + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -
Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^(-1 + n)*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(m + n)*Tan[(e + f*x)/2]^2
)/(3*AppellF1[1/2, m + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*((-1 + n)*AppellF1[3/2, m +
n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (m + n)*AppellF1[3/2, 1 + m + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e
+ f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2) + (3*2^(1 + m)*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^(-1 + n)*(Cos[(e +
f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(m + n)*Tan[(e + f*x)/2]*(-1/3*((1 - n)*AppellF1[3/2, m + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x
)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2]) + ((m + n)*AppellF1[3/2, 1 + m + n, 1 - n, 5
/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/3))/(3*AppellF1[1/2, m + n,
1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*((-1 + n)*AppellF1[3/2, m + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f
*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (m + n)*AppellF1[3/2, 1 + m + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*
x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2) - (3*2^(1 + m)*AppellF1[1/2, m + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*
x)/2]^2]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^(-1 + n)*(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(m + n)*Tan[(e + f*x)/2]*(2*((-1 + n)
*AppellF1[3/2, m + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (m + n)*AppellF1[3/2, 1 + m + n,
1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2] + 3*(-1/3*((1 - n)*A
ppellF1[3/2, m + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])
+ ((m + n)*AppellF1[3/2, 1 + m + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Ta
n[(e + f*x)/2])/3) + 2*Tan[(e + f*x)/2]^2*((-1 + n)*((-3*(2 - n)*AppellF1[5/2, m + n, 3 - n, 7/2, Tan[(e + f*x
)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5 + (3*(m + n)*AppellF1[5/2, 1 + m + n, 2 -
n, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5) + (m + n)*((-3*(1 - n
)*AppellF1[5/2, 1 + m + n, 2 - n, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e + f*x)/2]^2*Tan[(e + f*
x)/2])/5 + (3*(1 + m + n)*AppellF1[5/2, 2 + m + n, 1 - n, 7/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*Sec[(e
+ f*x)/2]^2*Tan[(e + f*x)/2])/5))))/(3*AppellF1[1/2, m + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]
^2] + 2*((-1 + n)*AppellF1[3/2, m + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] + (m + n)*AppellF1
[3/2, 1 + m + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)^2 + (3*2^(1 + m)*(m
+ n)*AppellF1[1/2, m + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2]*(Sec[(e + f*x)/2]^2)^(-1 + n)*
(Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x])^(-1 + m + n)*Tan[(e + f*x)/2]*(-(Cos[(e + f*x)/2]*Sec[e + f*x]*Sin[(e + f*x)
/2]) + Cos[(e + f*x)/2]^2*Sec[e + f*x]*Tan[e + f*x]))/(3*AppellF1[1/2, m + n, 1 - n, 3/2, Tan[(e + f*x)/2]^2,
-Tan[(e + f*x)/2]^2] + 2*((-1 + n)*AppellF1[3/2, m + n, 2 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2] +
(m + n)*AppellF1[3/2, 1 + m + n, 1 - n, 5/2, Tan[(e + f*x)/2]^2, -Tan[(e + f*x)/2]^2])*Tan[(e + f*x)/2]^2)))

Maple [F]

\[\int \sec \left (f x +e \right )^{n} \left (\sec \left (f x +e \right )+1\right )^{m}d x\]

[In]

int(sec(f*x+e)^n*(sec(f*x+e)+1)^m,x)

[Out]

int(sec(f*x+e)^n*(sec(f*x+e)+1)^m,x)

Fricas [F]

\[ \int \sec ^n(e+f x) (1+\sec (e+f x))^m \, dx=\int { {\left (\sec \left (f x + e\right ) + 1\right )}^{m} \sec \left (f x + e\right )^{n} \,d x } \]

[In]

integrate(sec(f*x+e)^n*(1+sec(f*x+e))^m,x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((sec(f*x + e) + 1)^m*sec(f*x + e)^n, x)

Sympy [F]

\[ \int \sec ^n(e+f x) (1+\sec (e+f x))^m \, dx=\int \left (\sec {\left (e + f x \right )} + 1\right )^{m} \sec ^{n}{\left (e + f x \right )}\, dx \]

[In]

integrate(sec(f*x+e)**n*(1+sec(f*x+e))**m,x)

[Out]

Integral((sec(e + f*x) + 1)**m*sec(e + f*x)**n, x)

Maxima [F]

\[ \int \sec ^n(e+f x) (1+\sec (e+f x))^m \, dx=\int { {\left (\sec \left (f x + e\right ) + 1\right )}^{m} \sec \left (f x + e\right )^{n} \,d x } \]

[In]

integrate(sec(f*x+e)^n*(1+sec(f*x+e))^m,x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate((sec(f*x + e) + 1)^m*sec(f*x + e)^n, x)

Giac [F]

\[ \int \sec ^n(e+f x) (1+\sec (e+f x))^m \, dx=\int { {\left (\sec \left (f x + e\right ) + 1\right )}^{m} \sec \left (f x + e\right )^{n} \,d x } \]

[In]

integrate(sec(f*x+e)^n*(1+sec(f*x+e))^m,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((sec(f*x + e) + 1)^m*sec(f*x + e)^n, x)

Mupad [F(-1)]

Timed out. \[ \int \sec ^n(e+f x) (1+\sec (e+f x))^m \, dx=\int {\left (\frac {1}{\cos \left (e+f\,x\right )}+1\right )}^m\,{\left (\frac {1}{\cos \left (e+f\,x\right )}\right )}^n \,d x \]

[In]

int((1/cos(e + f*x) + 1)^m*(1/cos(e + f*x))^n,x)

[Out]

int((1/cos(e + f*x) + 1)^m*(1/cos(e + f*x))^n, x)